Studoši

Zadatak: imamo 3 novcica u kutiji. Vjerojatnost prvog novcica da ce pasti na glavu je 0.6, drugog novcica 0.1, i treceg novcica 0.3. Izvukli smo novcic i bacili ga, te je pao na glavu. Kada drugi put bacimo novcic, kolika je vjerojatnost da ce pasti glava?

enaiks Da

enaiks otkud ti taj zadatak? Ja mislim da je 0.46 al nisam siguran

tomekbeli420
S Hacerranka. Mozes objasnit svoj postupak?

enaiks
Prvo numerirajmo novčiće: novčić i neka bude onaj čija je vjerojatnost da padne na glavu p_i, odnosno
p_1 = 0.6, \quad p_2 = 0.1 \quad p_3 = 0.3
Skup elementarnih događaja razbijemo na 3 hipoteze:
H_i = \left\{\text{Izvučen je novčić} \; i\right\}, \quad i \in \left\{1, 2, 3\right\}
A priori (prije izvođenja bilo kakvih pokusa), vjerojatnosti ostvarenja tih hipoteza, odnosno, vjerojatnost da je izvučen novčić i, bi logično bila \frac{1}{3} za svaki novčić (jer imamo izvlačenje na sreću iz kutije), odnosno
P\left(H_i\right) = \frac{1}{3} \quad \forall i \in \left\{1, 2, 3\right\}
E sad kada ne bi bilo nikakvih pokusa, morali bi se zadovoljiti sa tim apriornim vjerojatnostima, i tada bi vjerojatnost da padne glava na slučajno izabranom novčiću, po formuli potpune vjerojatnosti, računali sa
P \left(A\right) = \sum_{i = 1}^{3} P \left(H_i\right) P \left(A \mid H_i\right) = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{3} \, p_i
Gdje je događaj A = \left\{\text{slučajno odabran novčić pada na glavu}\right\}, a vjerojatnost P \left(A \mid H_i\right) je zapravo vjerojatnost da novčić padne na glavu ako unaprijed znamo koji novčić je izvučen, što je p_i
Ali, mi smo jednom proveli pokus, odnosno izvukli smo novčić i bacili ga, te je pao na glavu. To saznanje nam zapravo mijenja vjerojatnosti realizacija hipoteza H_i, i to moramo iskoristiti za računanje vjerojatnosti padanja glave u drugom bacanju.
Nove, aposteriorne vjerojatnosti realizacija hipoteza H_i, koje ću sada označavati sa H_i \mid A (jer znamo da se događaj A realizirao), odnosno P \left(H_i \mid A\right), možemo lako računati sa Bayesovom formulom:
P \left(H_i \mid A\right) = \frac{P\left(A \mid H_i\right) P\left(H_i\right)}{P\left(A\right)} = \frac{P\left(A \mid H_i\right) P\left(H_i\right)}{\sum_{j = 1}^{3} P \left(H_j\right) P \left(A \mid H_j\right)} = \frac{\frac{1}{3} \, p_i}{\sum_{j = 1}^{3} \frac{1}{3} p_j} = \frac{p_i}{\sum_{j = 1}^{3} p_j}\quad \forall i \in \left\{1, 2, 3\right\}

Slučajno se poklopilo da je \sum_{j = 1}^{3} p_j = 0.6 + 0.1 + 0.3 = 1 (vjerojatnosti padanja glave za svaki novčić su mogli biti bilo kakvi između 0 i 1). Također, za sumu sam koristio indeks j jer već je iskorišten i u raspisivanju formule. Kada izračunamo redom te aposteriorne vjerojatnosti, dobijemo
P \left(H_1 \mid A\right) = 0.6 \newline P \left(H_2 \mid A\right) = 0.1 \newline P \left(H_3 \mid A\right) = 0.3

Što to znači? Pa, prije pokusa smo mislili da su vjerojatnosti izvlačenja nekog novčića bile iste za sve novčiće, odnosno \frac{1}{3}, ali sad kad smo izvukli novčić, bacili ga i vidjeli da je pala glava, te vjerojatnosti su se promijenile. I sad mislimo da je vjerojatnost izvlačenja (odnosno preciznije rečeno: da smo izvukli novčić, jer da primjerice onaj novčić iz prvog bacanja vratimo u kutiju i opet ponovimo pokus, vjerojatnosti bi se opet vratile na \frac{1}{3}) prvog novčića 0.6, drugog novčića 0.1 i trećeg novčića 0.3. Igrom slučaja je ispalo da te vjerojatnosti odgovaraju vjerojatnostima padanja glave za svaki novčić, no te brojke su mogle ispasti bilo kakve.

I sada kada imamo novi uvid, odnosno kada imamo aposteriorne vjerojatnosti P\left(H_i \mid A\right), to možemo iskoristiti da bismo računali vjerojatnost događaja B = \left\{\text{U drugom bacanju novčića iz događaja A pada glava}\right\}. To ćemo učiniti opet sa formulom potpune vjerojatnosti kao što smo računali vjerojatnost P \left(A\right) = \sum_{i = 1}^{3} P \left(H_i\right) P \left(A \mid H_i\right), ali sad umjesto apriornih vjerojatnosti P \left(H_i\right) ćemo iskoristiti aposteriorne vjerojatnosti P \left(H_i \mid A\right), a drugi faktor u sumi će opet biti vjerojatnost padanja glave za svaki novčić, jer to se nije promijenilo (nema veze to što znamo da je u prvom bacanju pala glava, za svaki novčić vjerojatnosti ostaju kakve su i bile).
P \left(B\right) = \sum_{i = 1}^{3} P \left(H_i \mid A\right) \cdot p_i = 0.6^2 + 0.1^2 + 0.3^2 = 0.46

Ima negdje popis sta ne ulazi u gradivo?
Nisam slusao predavanja, zanima me je li zadnje poglavlje koje ulazi u gradivo 12 - testiranje hipoteza?

VIS do ponedjeljka, može li se?

Fortius da

Fortius ako mislis krenut sad, radit dnevno po 14h minimalno onda da

Moze mi neko objasnit onaj teorem o konvergenciji po vjerojatnosti, nije mi jasno sta s njim dobivamo i sta on uopce predstavlja

lugi kaj točno te zanima? jel misliš na ovu definiciju na dnu stranice 120 ili misliš na dovoljne uvjete za slabi zakon velikih brojeva, vrh stranice 122?

Ak se netko sjeća pojasnit kak se ovo dobije

Krisle skuzio, samo se gleda geometrijska vjerojatnost (nazivnik = povrsina kvadrata = 1), a brojnik je podjela na dva dijela - pravokutnik i ovaj integral

Moze mi se javit netko tko je pisao danas vis?

Moze netko pomoci s ova dva zadatka?

moze neko objasnjenje kad je u zadacima bitan poredak kod izvlacenja neceg npr a kad nije bitan poredak?

Zna netko kako se racuna ovo?